Решаем по-человечески, через матрицу Гессе

=-4 <0 точек нет Ответ: нет

x=0 y=0


38.Обосновать, что функция f(x.y)=x2+y2 а) не имеет лок. экстремума в (1,1) , б) имеет в этой точке условный локальный экстремум при наличии связи х+у=2

а) F’x=2xF’y=2y

В точке (1,1) 1-ые производные данной функции не обращаются в ноль, как следует точка (1,1) не Решаем по-человечески, через матрицу Гессе является точкой локального экстремума (не производится нужное условие).

б) Дано уравнение связи x+y=2. Y=2-x

f= x2+(2-x)2=2x2-4x+4

f’=4x-4=0 x=1 при х=1 у=2-1=1

39. Отыскать меньшее значение функции f(x,y) = |x-1| + 2y2 -3

Разглядим 3 варианта. 1) х-1>0 2)x-1<0 3) x=0

Аналогично как в прошлых.

Ответ: -3

44. Дайте определение Решаем по-человечески, через матрицу Гессе числового ряда и его суммы. Найдите, исходя из определения, сумму ряда при при

Определение.Пусть дана числовая последовательность а1,а2, а3….an . Выражение вида

именуют числовым рядом,либо просто рядом.

Числа а1 ,а2, а3,….anназывают членами ряда, число апс общим номером пназывают общим членом ряда.

Суммы конечного числа первых членов ряда

именуют частичными Решаем по-человечески, через матрицу Гессе суммами ряда. Потому что число членов ряда нескончаемо, то частичные суммы образуют числовую последовательность

45. Дайте определения числового ряда и его суммы. Исходя из определения обоснуйте, что сумма ряда равна числу 1.

Потому что = - , то для n-ной частичной суммы ряда получим выражение :
Sn=(1- )+( - ).
Sn= 1- .Cледовательно, =1.Итак, ряд сходится и сумма его Решаем по-человечески, через матрицу Гессе равна 1.

46. Сформулируйте и обоснуйте нужное условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.

Если ряд сходится ,то предел его общего члена =0.
Док-во: Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для хоть какого натурального n имеем = + , либо = - .
При n обе частичные суммы и Решаем по-человечески, через матрицу Гессе стремятся к лимиту S, потому из равенства следует,что
= - =S-S=0 .

47. Обоснуйте, что если ряд сходится , а ряд расползается, то ряд

48. Обоснуйте, что для сходимости ряда , нужно и довольно, чтоб последовательность его частичных сумм была ограничена.
Док-во: Пусть ряд сходится. Тогда существует предел его частичных сумм. Из Решаем по-человечески, через матрицу Гессе параметров пределов следует,что посл-ть частичных сумм ограничена.
Достаточность: Т.к. все члены данного ряда положительны и для хоть какого n Но понятно, что ограниченная сверху однообразная последовательность имеет предел.

49. Сформулируйте и обоснуйте признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

Если для ряда с положительными членами

сущ. такое число q Решаем по-человечески, через матрицу Гессе , то при всех n производится неравенство:

то ряд сходится .Если же для всех n, то ряд расползается.

Док-во:Отбросив несколько первых членов ряда,можно считать,что неравенство производится для всех n=1, 2… Перепишем это неравенство в виде .
Отсюдаимеем и т.д.Вообщем для хоть какого n справедливо неравенство
.
Это Решаем по-человечески, через матрицу Гессе указывает , что члены ряда не превосходят соответсвующих членов геометр прогрессии
Т.к. по условию 0 , это прогрессия сходится.В силу первого признака сопоставления сходится и данный ряд.
В случае,когда , другими словами члены ряда образуют неубывающую последовательность, и потому не производится нужный признак сходимости ряда , который на сто процентов обосновывает аксиому Решаем по-человечески, через матрицу Гессе.


50.Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.

Если существует предел: , то

1) при L< 1 ряд сходится

2) при L> 1 ряд расползается

3) при L = 1 нужны доп. исследования. (признак неприменим)

Пример:

Докажем сходимость: сравним с рядом: . Так как при всех n => довольно обосновать сходимость этого Решаем по-человечески, через матрицу Гессе ряда. Потому что , то = Т.о. . Этот ряд сходится => разыскиваемый ряд тоже сходится. Признак Даламбера не работает:

51. Сформулируйте признаки сопоставления для числовых рядов с неотрицательными членами. Используя этот признак, обоснуйте, что ряд расползается .

1-ый признак сопоставления: Пусть даны два ряда с положительными членами: a1+a2+….+an+…. И b1+b Решаем по-человечески, через матрицу Гессе2+….+bn+…., при этом члены первого ряда не превосходят соответственных членов второго: an

2-ой признак сопоставления: Если для рядов a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+….,с положительными Решаем по-человечески, через матрицу Гессе членами есть хороший от нуля предел дела limn→∞an/bn=u, то ряды a1+a2+….+an+…. И b1+b2+….+bn+…. Сходятся либо расползаются сразу.

Практика:

, обосновать расходимость ряда:

Используем сравнительный способ:

, где - меньше . Потому что расползается и является меньше, то по первому признаку сопоставления. Означает

52. Сформулируйте интегральный признак сходимости Решаем по-человечески, через матрицу Гессе числового ряда с положительными членами. При каких положительных значениях ряд сходится, а при каких расползается? Ответ докажите.

Интегральный признак: Пусть неотрицательная функция y=f(x) определена и однообразно убывает для x>1. Тогда для сходимости ряда f(1)+f(2)+…+f(n)+… нужно и довольно, чтоб сходился несобственный интеграл ∫1∞f(x)dx

Практика: , при каких α ряд Решаем по-человечески, через матрицу Гессе сходится, при каких расползается.

3) Разглядим случай при 0

ИмеемСравним с, при, потому что - гармонический и расползается, то по первому признаку сопоставления начальный ряд тоже сходится.

4) разглядим случай при :

Имеем

Выходит:

, в силу того что q>0

53.Дайте определение гармонического ряда. Обоснуйте, что гармонический ряд расползается.

- гармонический ряд.

Док-во Решаем по-человечески, через матрицу Гессе расходимости:

По интегральному признаку Коши: f(x)= - однообразно убывает на [1;∞), f(x)→0 при x→∞. Тогда = lim(lnx)-ln1 = ∞ => ряд расползается

54.Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю ( ) и стремятся к нулю, когда n®µ,то 1) ряд сходится Решаем по-человечески, через матрицу Гессе; 2) хоть какой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из собственных членов и имеет однообразный с ним символ.

Условная сходимость – это когда сам ряд сходится, а ряд, составленный их модулей членов – расползается. Пример:

- по Т.Лейбница сходится. Но ряд модулей расползается: (гармонический ряд).


reshenie-14-01-2013.html
reshenie-145-29.html
reshenie-15-avgusta-2013-goda.html